Сворачивать программу в Мини-плеер при минимизации (не только в трей!).

[Я Гриша!]

Интересно, в чем плюсы текущего поведения, когда кнопка исчезает 

Минимализм... многие пользуются только треем и им эта кнопка ненужна.